Question

4．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，
写出它的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．

解答 解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
则P（X=0）=（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
P（X=1）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）×（1-$\frac{1}{4}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{4}$=$\frac{11}{24}$，
P（X=2）=（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$；
所以，随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{24}$

随机变量X的数学期望为E（X）=0×$\frac{1}{4}$+1×$\frac{11}{24}$+2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{24}$=$\frac{13}{12}$；
（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）
=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{11}{24}$+$\frac{11}{24}$×$\frac{1}{4}$
=$\frac{11}{48}$；
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为$\frac{11}{48}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．