Question

5．在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设曲线C与直线l交于点A，B，求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1，可得直角坐标方程，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入圆的方程可得：t²+5$\sqrt{2}$t+9=0，设A，B对应的参数分别为t₁，t₂．利用|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1，可得直角坐标方程：x²+（y-2）²=4．展开为x²+y²-4y=0，
把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入圆的方程可得：t²+5$\sqrt{2}$t+9=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂．
∴t₁+t₂=-5$\sqrt{2}$，t₁•t₂=9．
∴|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．