Question

如图，过原点且倾斜角为α的直线交单位圆于点A（

3

5

，

4

5

），C是单位圆与x轴正半轴的交点，B是单位圆上第二象限的点，且△AOB为正三角形．
（I）求sin²

α

2

的值；
（II）求△BOC的面积．

Answer 1

分析：（I）由三角函数的定义可知 sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，可得  sin2

α

2

=

1-cosα

2

=

1

5

．
（II）又△AOB为正三角形，∠AOB=

π

3

，求得 sin∠BOC=sin（α+

π

3

 ）=sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

 的值，
由△BOC的面积等于

1

2

 OB×OC sin∠BOC 求出结果．

解答：解：（I）由三角函数的定义可知 sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，∴sin2

α

2

=

1-cosα

2

=

1

5

．
（II）又△AOB为正三角形，∠AOB=

π

3

，
∴sin∠BOC=sin（α+

π

3

 ）=sinαcos

π

3

+cosαsin

π

3

=

4

5

×

1

2

+

3

5

×

3

2

=

4+3 3

10

．
△BOC的面积等于

1

2

 OB×OC sin∠BOC=

1

2

×1×1×

4+3 3

10

=

4+3 3

20

．

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式的应用，求出 sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，是解题的关键．