Question

(2007湖北十校模拟)定义函数，，其导函数记为．

(1)求证：；

(2)设，n≥2，求证：；

(3)是否存在区间，使函数在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]?若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，b]．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵，令， 当n=1时，有g(x)=0，此时； 当n≥2时，有． 当x(－2，0)时，， 当x(0，＋∞)时，， ∴g(x)在(－2，0)上递减，在(0，＋∞)上递增．故g(x)在x=0处取得极(最)小值，g(0)=0． ∴g(x)≥0，即(当且仅当x=0时取等号)．综上，可知． (2)由，得． ∴，，易知， 而． 由(1)知当x＞0时，，故，∴，∴，∴． (3)， ． 令得，， ∴当x(－2，－1)时，； 当时，； 当时，， 故h(x)的草图如图所示． 下面考察直线y=kx(k＞0)与y=h(x)的相交问题． 由图可知直线y=kx(k＞0)与y=h(x)存在交点，且满足h(x)在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]． ∵在[－1，0]上，为图象的极小值点， ∴过A作直线与y=h(x)的图象交于另一点，当直线y=kx绕原点O顺时针旋转至点B时，满足条件的k取最小值，即k的最小值为，相应区间[a、b]为．