Question

14．已知定义在（0，$\frac{π}{2}}$）上的函数f（x），f'（x）为其导数，且f'（x）•sinx-cosx•f（x）＞0恒成立，则（　　）

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{4}$）
• C． f（1）＜2f（$\frac{π}{6}$）sin1
• D． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性，从而判断出函数值的大小即可．

解答 解：由f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，
构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，g′（x）＞0，
即函数g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$），
故选：D．

点评 本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，构造函数是解题的关键，本题是一道中档题．