题目内容
设f（x）=alnx-x+4，（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
分析：（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），对函数f（x）求导，根据导数的几何意义可求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率k=0，结合已知可求a；
（Ⅱ）令导数f′（x）大于0或小于0，解出x，即可得到函数的单调区间．
（Ⅱ）令导数f′（x）大于0或小于0，解出x，即可得到函数的单调区间．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=alnx-x+4可知，函数定义域为{x|x＞0}，且f′（x）=
-1．
由题意，f′（1）=a-1=0，
解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）=
-1=
=
（x＞0）．
令f′（x）＞0，解得x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．
则函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
| a |
| x |
由题意，f′（1）=a-1=0，
解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）=
| a |
| x |
| a-x |
| x |
| 1-x |
| x |
令f′（x）＞0，解得x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．
则函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
点评：本题主要考查了函数的导数的求解，利用导数判断函数的单调区间，体现了分类讨论思想的应用．
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