Question

13．已知抛物线C：y²=4x，圆F：（x-1）²+y²=1，过点（1，0）的直线l与抛物线C及圆F交于四点，从上到下依次为A、B、C、D，若|AB|=3，则|CD|=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，抛物线的焦点和准线方程，设出过F的直线代入抛物线的方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理，再由抛物线的定义，计算即可得到所求值．

解答 解：由圆F：（x-1）²+y²=1，
可得圆F的圆心坐标为（1，0），半径为1．
抛物线的焦点F（1，0），准线的方程为x=-1，
设过F点的直线l：y=k（x-1）．
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$
得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
即有x₁x₂=1，
由|AB|=3，可得|AF|=|AB|+|BF|=4，
由抛物线的定义可得4=x₁+1，
解得x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$，
由抛物线的定义可得，|DF|=|CD|+|CF|=$\frac{1}{3}$+1，
解得|CD|=$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了直线和圆、直线和抛物线的关系，注意运用抛物线的定义和焦半径公式的应用，考查了计算能力，是中档题．