Question

已知点E(m,0)为抛物线y²＝4x内一个定点，过E斜率分别为k₁、k₂的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点．

(1)若m＝1，k₁k₂＝－1，求三角形EMN面积的最小值；

(2)若k₁＋k₂＝1，求证：直线MN过定点．

Answer 1

 (1)当m＝1时，E为抛物线y²＝4x的焦点，

设AB方程为y＝k₁(x－1)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由得k₁y²－4y－4k₁＝0，y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－4.

AB中点，∴M(＋1，)；同理，点N(2k＋1，－2k₁)．

∵k₁k₂＝－1，∴AB⊥CD，

∴S_△EMN＝|EM|·|EN|＝

当且仅当k＝，即k₁＝±1时，△EMN的面积取最小值4.

(2)设AB方程为y＝k₁(x－m)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由得k₁y²－4y－4k₁m＝0，y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－4m，

AB中点，∴M(＋m，)；

同理，点N(＋m，)．

∵k₁＋k₂＝1，∴k_MN＝＝k₁k₂，

∴l_MN：y－＝k₁k₂[x－(＋m)]，即y＝k₁k₂(x－m)＋2，∴直线MN恒过定点(m,2)．