Question

12．在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，4），C（6，t）．
（1）若点A，B，C在同一条直线上，求实数t的值；
（2）若△ABC是以BC为底边的等腰三角形，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意知$\overrightarrow{AB}=（-3，4）$，$\overrightarrow{AC}=（3，t）$．由点A，B，C在同一条直线上，可得$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{AC}$，利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出．．
（2）△ABC是以BC为底边的等腰三角形，可得AC=BC．解得t，通过分类讨论可得：当t=4时，C（6，4），故直线AB的方程为：4x+3y-12=0．点C到直线AB的距离d．利用△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$d|AB|即可得出．

解答 解：（1）由题意知$\overrightarrow{AB}=（-3，4）$，$\overrightarrow{AC}=（3，t）$．
∵点A，B，C在同一条直线上，∴$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{AC}$，∴-3t-12=0，∴t=-4．
（2）∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴AC=BC．
∵$AB=\sqrt{{3^2}+{4^2}}=5$，$AC=\sqrt{9+{t^2}}$，
∴5=$\sqrt{9+{t}^{2}}$，解得t=±4．
当t=-4时，点A，B，C在同一条直线上，故舍去．
当t=4时，C（6，4），故直线AB的方程为：4x+3y-12=0．
点C到直线AB的距离d=$\frac{|24+12-12|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{24}{5}$．
∴△ABC的面积为$S=\frac{1}{2}×d×AB=\frac{1}{2}×\frac{24}{5}×5=12$．

点评 本题考查了向量共线定理、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．