Question

16．已知△ABC中，角$B，\frac{3}{2}C，A$成等差数列，且△ABC的面积为$1+\sqrt{2}$，则AB边的最小值是2．

Answer 1

分析 由已知，利用等差数列的性质，三角形内角和定理可求C的值，利用三角形面积公式可求ab的值，进而利用余弦定理，基本不等式可求AB边的最小值．

解答 解：∵$B，\frac{3}{2}C，A$成等差数列，
∴A+B=3C，
又∵A+b+C=π，
∴C=$\frac{π}{4}$，
∴由S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=1+$\sqrt{2}$，得ab=2（2+$\sqrt{2}$），
∵c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-$\sqrt{2}$ab，及a²+b²≥2ab，
∴c²≥（2-$\sqrt{2}$）ab=4，解得：c≥2，
∴c的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．