Question

8．如下图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱C₁的
中点，且CF⊥AB，AC=BC．
（Ⅰ）求证：CF∥平面AEB1；
（Ⅱ）求证：平面AEB₁⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

分析 （I）取AB₁的中点G，连结EG，FG，证得四边形CEGF为平行四边形，即CF∥EG，再由线面平行的判定定理即可得证；
（II）运用直三棱柱的定义和条件，运用线面垂直的判定定理可得CF⊥平面ABB₁A₁，结合CF∥EG，再由面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 证明：（I）取AB₁的中点G，连结EG，FG；
∵CC₁∥BB₁ 且CC₁=BB₁，又∵E为CC₁的中点，
∴CE∥FG且CE=FG，
从而，四边形CEGF为平行四边形；
即CF∥EG，
又∵EG?面AEB₁，CF?面AEB₁
∴CF∥平面AEB₁．
（II）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
且CF?面ABC，
∴CF⊥AA₁；
又∵CF⊥AB且AB∩BB₁=B，
∴CF⊥平面ABB₁A₁．
由（1）有CF∥EG，∴EG⊥平面ABB₁A₁．
又∵EG?面AEB₁，
∴平面AEB₁⊥平面ABB₁A₁．

点评 本题考查空间线面平行的判定和面面垂直的判定，注意运用判定定理和平面几何的判定和性质，考查推理和空间想象能力，属于中档题．