Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的AA₁=1，底面ABCD的周长为4。

⑴ 当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，求二面角B-A₁C-D的值；

⑵ 线段A₁C上是否存在一点P，使得A₁C平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由.

Answer 1

.解：法一：

⑴ 根据题意，长方体体积为

  ……2分

当且仅当，即时体积有最大值为1

所以当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，底面四边

形ABCD为正方形  

作BMA₁C于M，连接DM，BD

因为四边形ABCD为正方形，所以与全等，故DMA₁C，所以即为所求二面角的平面角     ……6分

因为BC平面AA₁B₁B，所以为直角三角形

又，所以，同理可得，  

在BMD中，根据余弦定理有： 

因为，所以

即此时二面角B-A₁C-D的值是. 

⑵ 若线段A₁C上存在一点P，使得 A₁C平面BPD，则A₁CBD 

又A₁A平面ABCD,所以A₁ABD，所以BD平面A₁AC

所以BDAC       

底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A₁C上存在点P满足要求，否则不存在

由⑴知，所求点P即为BMA₁C的垂足M

此时，  法二：

根据题意可知，AA₁, AB,AD两两垂直，以AB为轴，AD为轴，AA₁为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

⑴长方体体积为当且仅当，即时体积有最大值为1   所以当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形  

则，

设平面A₁BC的法向量，则

取，得： 

同理可得平面A₁CD的法向量

所以， 

又二面角B-A₁C-D为钝角，故值是.

（也可以通过证明B₁A平面A₁BC写出平面A₁BC的法向量）

 

⑵ 根据题意有，若线段A₁C上存在一点P满足要求，不妨，可得

 即：

解得：         

即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A₁C上处.