Question

函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点，若在曲线

ABC

与x轴所围成的区域内随机抽取一点，则该点在△ABC内的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：先利用定积分的几何意义，求曲线段

ABC

与x轴所围成的区域面积，再求三角形ABC的面积，最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可得所求概率

解答： 解：∵f′（x）=ωcos（ωx+φ），
∴曲线段

ABC

与x轴所围成的区域面积为

∫	3π-φ 2 ω π 2 -φ ω

[-f′（x）]dx=-f（x）|

3π 2 -φ ω π 2 -φ ω

=-sin

3π

2

-（-sin

π

2

）=2
三角形ABC的面积为

ω× π ω

2

=

π

2

∴在曲线段

ABC

与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为P=

π 2

2

=

π

4

故答案为：

π

4

．

点评：本题主要考查了f（x）=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，导数运算及导函数与原函数的关系，定积分的几何意义，几何概型概率的计算方法，属中档题．