Question

已知函数f（x）=2cos（

π

2

-

π

4

x-

π

4

）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴；
（2）将函数f（x）的图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数y=g（x）+k在（-2，4）上有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,余弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可得函数f（x）=2cos（

π

4

x-

π

4

），令

π

4

x-

π

4

=kπ，k∈z，求得x的解析式，可得函数f（x）图象的对称轴．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数g（x）=2cos（

π

4

x），由条件可得y=g（x）的图象和直线y=-k在（-2，4）上有两个交点．数形结合可得0＜-k＜2，由此求得k的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=2cos（

π

2

-

π

4

x-

π

4

）=2cos（

π

4

-

π

4

x）=2cos（

π

4

x-

π

4

），
令

π

4

x-

π

4

=kπ，k∈z，求得x=4k+1，故函数f（x）图象的对称轴为x=4k+1，k∈z．
（2）将函数f（x）的图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数g（x）=2cos[

π

4

（x+1）-

π

4

]=2cos（

π

4

x） 的图象，
由函数y=g（x）+k在（-2，4）上有两个零点，可得y=g（x）的图象和直线y=-k在（-2，4）上有两个交点．
如图所示，
故有0＜-k＜2，求得-2＜k＜0．

点评：本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化的数学思想，属于基础题．