Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆右焦点，且

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线：与椭圆相交于，两点（都不是顶点），且以为直径

的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

 

Answer 1

（1） （2）或

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，

由已知得：且，

∴，∴．

∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设，，

联立 得，

又，

因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，

∴，即，

∴，

∴，

∴．

解得：或

∴直线l过点或点（舍）

考点：（1）椭圆的方程； （2）直线与椭圆的综合问题.