Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=0，S₅=-5，数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前2016项的和为-$\frac{2016}{4031}$．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由S₃=0，S₅=-5，可得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=0}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=-5}\end{array}\right.$，解得：a₁，d，可得a_n．再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₃=0，S₅=-5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=0}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=-5}\end{array}\right.$，解得：a₁=1，d=-1．
∴a_n=1-（n-1）=2-n．
∴$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（3-2n）（1-2n）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，
数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前2016项的和=$\frac{1}{2}[（-1-1）+（1-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{4029}-\frac{1}{4031}）]$=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{4031}）$=-$\frac{2016}{4031}$．
故答案为：-$\frac{2016}{4031}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．