Question

3．若函数f（x）=${（{1+sinx}）^{10}}+{（{1-sinx}）^{10}}，x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，则其最大值为1024．

Answer 1

分析 求出函数的导数f′（x）=10（1+sinx）⁹cosx-10（1-sinx）⁹cosx，利用函数单调性及奇偶性可求解．

解答 解：f′（x）=10（1+sinx）⁹cosx-10（1-sinx）⁹cosx，
令f′（x）=0⇒（1+sinx=1-sinx或cosx=0⇒x=0或x=±$\frac{π}{2}$，
当x$∈[0，\frac{π}{2}]$时，f′（x）＞0，
函数f（x）为增函数，则其最大值f（$\frac{π}{2}$）=2¹⁰=1024，
又因为函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数f（x）最大值1024．
故答案为：1024

点评 本题考查了利用函数的导数、函数单调性及奇偶性，属于中档题．