Question

求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段长等于圆心到该边对边的距离．

 

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：以两条对角线的交点为原点O、对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设出A（﹣a，0），B（0，﹣b），C（c，0），D（0，d），求得CD的中点E和AB的中点H的坐标．

由圆的性质求得圆心G的坐标，求得|OE|2=|GH|2=，可得|OE|=|GH|，命题得证．

【解析】
以两条对角线的交点为原点O、对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，（如图所示）

设A（﹣a，0），B（0，﹣b），C（c，0），D（0，d），则CD的中点E（，），AB的中点H（﹣，﹣）．

又圆心G到四个顶点的距离相等，故圆心G的横坐标等于AC中点的横坐标，等于，

圆心G的纵坐标等于BD中点的纵坐标，等于．

即圆心G（，），∴|OE|2=，

|GH|2=+=，∴|OE|=|GH|，故要证的结论成立．