Question

9．已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n），则数列{a_n}的通项为a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ．

Answer 1

分析 由S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n）知，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$a_n-1，整理可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，由S₁=a₁=$\frac{1}{2}$（1-a₁）⇒a₁=$\frac{1}{3}$，从而可知数列{a_n}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，于是可求得数列{a_n}的通项．

解答 解：因为S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n），
所以，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（1-a_n）-$\frac{1}{2}$（1-a_n-1）=-$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$a_n-1，
化简得2a_n=-a_n+a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$．
又由S₁=a₁=$\frac{1}{2}$（1-a₁），得a₁=$\frac{1}{3}$，
所以数列{a_n}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列．
所以a_n=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ．
故答案为：a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ

点评 本题考查数列递推式的应用，由S_n=$\frac{1}{2}$（1-a_n）求得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$是关键，考查等比关系的确定及其通项公式的应用，属于中档题．