Question

19．已知cos（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{4}{5}$，cos（β-$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$，且-$\frac{2π}{3}$＜α＜-$\frac{π}{6}$＜β＜$\frac{π}{3}$，则cos（α-β）=$\frac{11}{15}$．

Answer 1

分析 根据同角的三角函数的关系以及两角和的余弦公式以及诱导公式即可求出答案．

解答 解：∵cos（$\frac{π}{6}$+α）=$\frac{4}{5}$，
∴cos（$\frac{π}{6}$+α）=sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{6}$+α）]=sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$，
∵-$\frac{2π}{3}$＜α＜-$\frac{π}{6}$＜β＜$\frac{π}{3}$，
∴-π＜α-$\frac{π}{3}$＜-$\frac{π}{2}$＜β-$\frac{π}{3}$＜0
∴cos（α-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{3}）}$=-$\frac{3}{5}$，
∵cos（β-$\frac{π}{3}$）=$\frac{5}{13}$，
∴sin（β-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（β-\frac{π}{3}}）$=-$\frac{12}{13}$，
∴cos（α-β）=cos[（α-$\frac{π}{3}$）-（β-$\frac{π}{3}$）]=cos（α-$\frac{π}{3}$）cos（β-$\frac{π}{3}$）+sin（α-$\frac{π}{3}$）sin（β-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{13}$+（-$\frac{4}{5}$）×（-$\frac{12}{13}$）=$\frac{33}{65}$=$\frac{11}{15}$，
故答案为：$\frac{11}{15}$

点评 本题考查了同角的三角函数的关系以及两角和的余弦公式以及诱导公式，属于基础题．