Question

20．已知命题p：实数x满足|2x-m|≥1；命题q：实数x满足$\frac{1-3x}{x+2}$＞0．
（Ⅰ）若m=1时，p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若?p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据复合命题的真假得到p，q都为真，分别求出p，q为真时x的范围，即可求出答案．
（Ⅱ）化简p，根据命题的否定得到$A=（{\frac{m-1}{2}，\frac{m+1}{2}}）$，$B=（{-2，\frac{1}{3}}）$，P是q的充分非必要条件，A是B的真子集，即求出m的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵p∧q为真，∴p，q都为真…（1分）
又m=1，∴p真；|2x-1|≥1，即x≤0或x≥1…（2分）
$q真；\frac{1-3x}{x+2}＞0$，∴（1-3x）（x+2）＞0，即$-2＜x＜\frac{1}{3}$…（4分）
由$\left\{\begin{array}{l}x≤0或x≥1\\-2＜x＜\frac{1}{3}\end{array}\right.得-2＜x≤0$，
∴实数x的取值范围为（-2，0]…（6分）
（Ⅱ）∵p：实数x满足|2x-m|≥1，∴?p；|2x-m|＜1，即$\frac{m-1}{2}＜x＜\frac{m+1}{2}$
令$A=（{\frac{m-1}{2}，\frac{m+1}{2}}）$…（7分）
$q；-2＜x＜\frac{1}{3}$，令$B=（{-2，\frac{1}{3}}）$…（8分）
∵?P是q的充分非必要条件，A是B的真子集…（9分）
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{m-1}{2}≥-2\\ \frac{m+1}{2}≤\frac{1}{3}\end{array}\right.（不能同时取等）$，得  $-3≤m≤-\frac{1}{3}$
∴实数m的取值范围是$[{-3，-\frac{1}{3}}]$…（12分）

点评 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，集合间的包含关系，属于中档题．