Question

8．已知二次函数f（x）=x²+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．
（I）求m的取值范围；
（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m的范围；
（Ⅱ）设所求圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得到关于x的方程，与已知方程为同一方程，确定出D与F，令x=0得到关于y的方程，将y=m代入表示出E，将D、E、F代入即可确定出圆C的方程，进而可求圆C经过定点．

解答 解：（I）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，m）；
令f（x）=x²+4x+m=0，
由题意得：m≠0且△＞0，即m≠0且16-4m＞0
解得：m＜4且m≠0；
（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0得：x²+Dx+F=0这与x²+4x+m=0=是同一个方程，故D=4，F=m；
令x=0得：y²+Ey+F=0，此方程有一个根为m，代入得出E=-m-1，
∴圆C的方程为x²+y²+4x-（m+1）y+m=0．
∴x²+y²+4x-y+（-y+1）m=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+4x-y=0}\\{-y+1=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴圆C经过定点（0，1）和（-4，1）．

点评 本题考查了圆的一般式方程，以及二次函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．