Question

12．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（-1，0）．是否存在常数a，b，c，使不等式x≤f（x）≤$\frac{1+x^2}{2}$，对?x∈R都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 通过图象过一点得到a、b、c一关系式，观察发现1≤f（1）≤1，又可的一关系式，再将b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤$\frac{1{+x}^{2}}{2}$对一切实数x都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立，即可解得．

解答 解：∵f（x）的图象过点（-1，0），∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤$\frac{1{+x}^{2}}{2}$对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{a}$-a．
∴f（x）=ax²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$-a．
故x≤ax²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$-a≤$\frac{1{+x}^{2}}{2}$对一切x∈R成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}-4a（\frac{1}{2}-a）≤0}\\{1-8a（1-2a）≤0}\\{a＞0}\\{1-2a＞0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{4}$．
∴c=$\frac{1}{2}$-a=$\frac{1}{4}$．
∴常数a，b，c的值为：$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．