Question

3．已知c＞0，设命题p：函数y=c^x为减函数，命题q：当x∈[1，4]时函数$f（x）=x+\frac{4}{x}＞\frac{1}{c}$恒成立，如果p且q为真命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：利用指数函数的单调性可得：0＜c＜1；对于命题q：当x∈[1，4]时，利用基本不等式的性质可得：函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$≥4，由于函数$f（x）=x+\frac{4}{x}＞\frac{1}{c}$恒成立，可得$\frac{1}{c}$＜（f（x））_min，可得c的取值范围，p且q为真命题可知：p与q都为真命题．

解答 解：c＞0，
对于命题p：函数y=c^x为减函数，则0＜c＜1；
对于命题q：当x∈[1，4]时，函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当且仅当x=2时取等号，由于函数$f（x）=x+\frac{4}{x}＞\frac{1}{c}$恒成立，
∴$\frac{1}{c}$＜（f（x））_min=4，又c＞0，解得$\frac{1}{4}＜c$．
∵p且q为真命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{\frac{1}{4}＜c}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{4}$＜c＜1．
∴c的取值范围是$\frac{1}{4}$＜c＜1．

点评 本题考查了指数函数的单调性、基本不等式的性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．