Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}}+1，x≤0\\ m-{x^2}，x＞0\end{array}$，给出下列两个命题：
命题p：若m=9，则f（f（-1））=0．
命题q：?m∈（-∞，0），方程f（x）=m有解．
（1）判断命题p、命题q的真假，并说明理由；
（2）判断命题￢p、p∧q、p∨q、p∧（￢q）的真假．

Answer 1

分析 （1）若m=9，则f（f（-1））=f（3）=0，故命题p为真命题，结合已知分段函数的解析式，求出函数值的范围，可得命题q为假命题；
（2）结合（1）中结论，结合复合函数真假判断的真值表，可得答案．

解答 解：（1）若m=9，则f（f（-1））=f（3）=0，故命题p为真命题．…（2分）
当x≤0时，f（x）=2^-x+1≥2，
当x＞0时，f（x）=m-x²＜m．
故m∈（-∞，0），方程f（x）=m无解，
故命题q为假命题；…（6分）
（2）故命题￢p为假命题、
p∧q为假命题、
p∨q为真命题、
p∧（￢q）为真命题…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数的值，难度中档．