Question

20．设点P，Q分别是曲线f（x）=x²-lnx和直线x-y-2=0上的动点，则P，Q两点间的距离的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 当曲线上过点P的切线和直线x-y-2=0平行时，点P到直线x-y-2=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线x-y-2=0的距离即为所求．

解答 解：当过点P的切线和直线x-y-2=0平行时，点P到直线x-y-2=0的距离最小．
由题意可得，f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=1，
∴x=1，
∴f（1）=1，
∴曲线f（x）=x²-lnx和直线x-y-2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线x-y-2=0的距离d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴P，Q两点间的距离的最小值为$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．