题目内容
设椭圆 C1：
（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线 C2：
的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率 
，过椭圆右焦点 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点．（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线 l，使得
，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）确定椭圆的一个顶点坐标，结合离心率，即可求得椭圆C的方程；
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量数量积公式，即可求得结论．
解答：解：（1）抛物线 C2：
的焦点坐标为（0，
），
∴椭圆的一个顶点为（0，
），即b=
∵
，∴a=2，
∴椭圆的标准方程为
；
（2）由题意，直线l与椭圆必相交
①斜率不存在时，直线l为x=1，代入椭圆方程，可得y=
，∴
，不合题意；
②斜率存在时，设方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2），
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
∴x1+x2=
，x1x2=
，
∴
=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-（x1+x2）+1]=
+k2（
-
+1）=
=-2
∴k=
，
故直线l的方程为y=
（x-1）或y=-
（x-1）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量数量积公式，即可求得结论．
解答：解：（1）抛物线 C2：
的焦点坐标为（0，），∴椭圆的一个顶点为（0，
），即b=∵
，∴a=2，∴椭圆的标准方程为
；（2）由题意，直线l与椭圆必相交
①斜率不存在时，直线l为x=1，代入椭圆方程，可得y=
，∴，不合题意；②斜率存在时，设方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2），
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
∴x1+x2=
，x1x2=，∴
=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-（x1+x2）+1]=+k2（-+1）==-2∴k=
，故直线l的方程为y=
（x-1）或y=-（x-1）．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
练习册系列答案
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（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图，若抛物线C2：y=x2-1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点。
），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值。
（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线 C2：x2=4
y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=
，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点，
，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；
为定值。