Question

5．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，正方形AA₁B₁B的边长是整数，点H是其中心，C₁H⊥平面AA₁B₁B，且C₁H=$\sqrt{6}$，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面积为4（$\sqrt{7}$+1）．
（Ⅰ）求AA₁；
（Ⅱ）求二面角A-BC-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AA₁=2a，则a∈N^*，过H分别作HE⊥BB₁，HF⊥AA₁，分别交BB₁，AA₁于E、F点，连结C₁E、C₁F，则AA₁⊥C₁F，C₁E⊥BB₁，从而C₁E=C₁F=$\sqrt{{a}^{2}+6}$，由此利用三棱信的侧面积能求出AA₁．
（Ⅱ）过点B作直线l垂直于平面ABB₁A₁，以BA为x轴，BB₁为y轴，l为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BC-C₁的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）设AA₁=2a，则a∈N^*，
过H分别作HE⊥BB₁，HF⊥AA₁，
分别交BB₁，AA₁于E、F点，连结C₁E、C₁F，
∵C₁H⊥AA₁，又HF⊥AA₁，C₁H∩HF=H，
∴AA₁⊥C₁F，同理C₁E⊥BB₁，
∴C₁E=C₁F=$\sqrt{{a}^{2}+6}$，
又三棱信的侧面积为$4{a}^{2}+2×2a×\sqrt{{a}^{2}+6}$=4（$\sqrt{7}+1$），
∵a∈N^*，∴a=1，∴AA₁=2．
（Ⅱ）过点B作直线l垂直于平面ABB₁A₁，以BA为x轴，BB₁为y轴，l为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（0，0，0），C₁（1，1，$\sqrt{6}$），C（1，-1，$\sqrt{6}$），
∴$\overrightarrow{BC}$=（1，-1，$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，2，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面ABC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=x-y+\sqrt{6}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BA}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=6，得$\overrightarrow{m}$=（0，6，$\sqrt{6}$），
设平面BCC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=a-b+\sqrt{6}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=2b=0}\end{array}\right.$，取a=-6，得$\overrightarrow{n}$=（-6，0，$\sqrt{6}$），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{6}{\sqrt{36+6}•\sqrt{36+6}}$=$\frac{1}{7}$，
∴二面角A-BC-C₁的余弦值为$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．