Question

已知7sinα=3sin（α+β）．求证：2tan

2α+β

2

=5tan

β

2

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：证明题

分析：由已知可得10sinα=3[sin（α+β）+sinα]可得10sin

α

2

cos

α

2

=3sin（

2α+β

2

）cos

β

2

，同理由已知可得4sin

α

2

cos

α

2

=3cos（

2α+β

2

）sin

β

2

，两式相除得即可命题得证．

解答： 证明：∵7sinα=3sin（α+β）
∴10sinα=3[sin（α+β）+sinα]
10sin

α

2

cos

α

2

=3sin（

2α+β

2

）cos

β

2

     （1）
∴4sinα=3（sin（α+β）-sinα）
4sin

α

2

cos

α

2

=3cos（

2α+β

2

）sin

β

2

      （2）
两式相除得

5

2

=

tan 2α+β 2

tan β 2

．
∴2tan

2α+β

2

=5tan

β

2

．
命题得证．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，和差化积公式的应用，属于基础题．