Question

16．在等比数列{a_n}中，各项都是正数，且a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，则$\frac{{{a_{11}}+{a_{12}}}}{{{a_9}+{a_{10}}}}$=（　　）

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． 3+2$\sqrt{2}$
• D． 3-2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根据题意求出公比，再代值计算即可．

解答 解：由题意设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），
∵a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，
∴2×$\frac{1}{2}$a₃=a₁+2a₂，
∵a₁≠0，
∴q²-2q-1=0，
解得q=1+$\sqrt{2}$或q=1-$\sqrt{2}$（舍去）；
∴公比q=1+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{{a_{11}}+{a_{12}}}}{{{a_9}+{a_{10}}}}$=$\frac{{q}^{2}+{q}^{3}}{1+q}$=q²=（1+$\sqrt{2}$）²=3+2$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查了等差与等比数列的通项公式的应用问题，是基础题．