Question

3．当双曲线C不是等轴双曲线我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”，则离心率为$\sqrt{5}$的双曲线的“伴生椭圆”离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 不妨设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），则其“伴生椭圆”的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．由$\sqrt{5}$=$\frac{c}{a}$，运用a，b，c的关系，可得b=2a，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：不妨设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
则其“伴生椭圆”的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
由$\sqrt{5}$=$\frac{c}{a}$，
可得$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=5，
即有b=2a，
其“伴生椭圆”的离心率e=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线与椭圆的标准方程及其性质、新定义“伴生椭圆”的意义，主要是离心率的求法，属于中档题．