Question

14．已知sinα+cosα=$\sqrt{2}$，α∈（0，π），则$tan（α-\frac{π}{3}）$=（　　）

• A． $2-\sqrt{3}$
• B． $-2-\sqrt{3}$
• C． $-2+\sqrt{3}$
• D． $2+\sqrt{3}$

Answer 1

分析 已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简求出sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系sinα-cosα的值，确定出sinα与cosα的值，进而求出α的度数，代入原式利用两角和与差的正切函数公式化简即可得到结果．

解答 解：把sinα+cosα=$\sqrt{2}$，两边平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=2，即sinαcosα=$\frac{1}{2}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=0，
∴sinα-cosα=0，即sinα=cosα，
∵α∈（0，π），
∴sinα=cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即α=$\frac{π}{4}$，
则原式=tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）=$\frac{tan\frac{π}{4}-tan\frac{π}{3}}{1+tan\frac{π}{4}tan\frac{π}{3}}$=$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}$=-2+$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．