Question

7．如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且$\frac{{|{DM}|}}{{|{DP}|}}=\frac{3}{2}$，当点P在圆x²+y²=4上运动时，点M形成的轨迹为L．
（1）求轨迹L的方程；
（2）已知定点E（-2，0），若直线y=kx+2（k≠0）与点M的轨迹L交于A，B两点，问：是否存在实数k，使以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用点M在DP的延长线上，$\frac{{|{DM}|}}{{|{DP}|}}=\frac{3}{2}$，确定M，P坐标之间的关系，P的坐标代入圆的方程，即可求动点M的轨迹E的方程； 
（2）若存在k的值，使以AB为直径的圆过M点，则EA⊥EB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁•y₂+（x₁+2）（x₂+2）=0，构造方程求出k值即可．

解答 解：（1）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），
则x₀=x，y₀=$\frac{2y}{3}$①
∵P（x₀，y₀）在圆上，
∴x₀²+y₀²=4②
将①代入②得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$（y≠0）．
∴动点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$（y≠0）；
（2）假若存在k的值，使以AB为直径的圆过E点．
由直线与椭圆方程联立，化简得：（9+4k²）x²+16kx-20=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{16k}{4{k}^{2}+9}$，x₁•x₂=-$\frac{20}{4{k}^{2}+9}$
∴y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²（x₁•x₂）+2k（x₁+x₂）+4
要使以AB为直径的圆过M点，当且仅当EA⊥EB，即y₁•y₂+（x₁+2）（x₂+2）=0时满足条件
∴（k²+1）（x₁•x₂）+2（k+1）（x₁+x₂）+8=0
代入化简得-20k²-32k+52=0
解得k=-$\frac{13}{5}$或1，
经检验k=-$\frac{13}{5}$或1满足条件，
综上可知，存在k=-$\frac{13}{5}$或1使以AB为直径的圆过E点．

点评 本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解答的关键．