Question

3．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且$AD=\frac{1}{3}AC$，$AE=\frac{2}{3}AB$，BD、CE相交于点F．
（Ⅰ）求证：A、E、F、D四点共圆，并求∠BFC的大小；
（Ⅱ）求证：2BF•BD=CF•CE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出∠BFC的大小，再利用对角互补四点共圆，即可证明；
（Ⅱ）利用割线定理证明：2BF•BD=CF•CE．

解答 证明：（Ⅰ）因为AD=BE，AB=BC，∠BAD=∠CBE，则△ABD≌△BCE，
故∠ABD=∠BCE，
所以∠BCE+∠CBD=∠ABD+∠CBD=∠ABC=60°，
所以∠BFC=180°-（∠BCE+∠CBD）=120°．
所以，∠BAC+∠EFD=60°+∠BFC=180°，故A，E，F，D四点共圆．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CF•CE=CD•CA=2BE•BA=2BF•BD，即2BF•BD=CF•CE．

点评 本题考查对角互补四点共圆，考查割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．