求数列$\frac{2}{1×2}$.$\frac{2}{2×3}$.$\frac{2}{3×4}$.$\frac{2}{4×5}$.-的前n项和Sn．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．求数列$\frac{2}{1×2}$，$\frac{2}{2×3}$，$\frac{2}{3×4}$，$\frac{2}{4×5}$，…的前n项和S_n．

分析 $\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答解：∵$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴S_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．

点评本题考查了“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

1．把函数y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．
（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{5π}{6}$]时，关于x的方程f（x）-m=0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围．

18．设p：实数x满足ax-（1+a²）x²＞0（a＞0）；q：实数x满足2x²-x-1＜0．若（￢p）∧q为真，求实数x的取值范围．

1．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，又$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$．求|$\overrightarrow{CD}$|的值．

11．已知边长分别为a，b，c的三角形ABC面积为S，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，则三角形OAB，OBC，OAC的面积分别为$\frac{1}{2}cr，\frac{1}{2}ar，\frac{1}{2}$br，由S=$\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}$br得r=$\frac{2S}{a+b+c}$，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，则内切球的半径R=$\frac{3V}{{{S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_4}}}$．

18．已知函数f（x）=sinωx+λcosωx，其图象的一个对称中心到最近的一条对称轴的距离为$\frac{π}{4}$，且在x=$\frac{π}{12}$处取得最大值．
（1）求λ的值．
（2）设$g（x）=af（x）+cos（4x-\frac{π}{3}）$在区间$（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$上是增函数，求a的取值范围．

15．已知$\frac{a+2i}{i}$=b+i（a，b是实数），其中i是虚数单位，则ab=（　　）

16．

如图，矩形A_nB_nC_nD_n的一边A_nB_n在x轴上，另外两个顶点C_n，D_n在函数f（x）=x+$\frac{1}{2x}（{x＞0}）$的图象上．若点B_n的坐标为（n，0）（n∈N^*），记矩形A_nB_nC_nD_n的周长为a_n，则a₁+a₂+…+a₁₀（　　）

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