Question

已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.

（Ⅰ）求的值及函数的极值；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.

 

Answer 1

（Ⅰ），极小值为无极大值；（Ⅱ）详见解析；

（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由，得.再根据曲线在点处的切线斜率为，便可得从而得.代入解析式得.由此根据导数的符号即可得函数的极值；（Ⅱ）令.为了证，只需证，而这利用导数很易证明；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时, .所以当时必有时, .取即可.若,为了使问题简化，作以下转化：令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要，即成立.令，这样转化后，这个函数的导数就很简单了，利用导数可找到，使得当，恒有.

试题解析：解:（Ⅰ）由，得.

又,得.

所以.

令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增. 所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.

（Ⅱ）令,则.

由（Ⅰ）得,

故在R上单调递增,又,

因此,当时, ,即.

（Ⅲ）①若,则.又由（Ⅱ）知，当时, .

所以当时, .取,当时，恒有.

②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.

令,则.

所以当时, 在内单调递增.

取,所以在内单调递增.

又.

易知.所以.即存在,当时，恒有.

综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有. .....14分

解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）同解法一（Ⅲ）对任意给定的正数c，取

由（Ⅱ）知，当x>0时，，所以，当时，

因此，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有.

考点：1、导数的应用；2、导数与不等式.