Question

（5分）（2011•德阳二模）抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点是离心率为的双曲线：32y2﹣mx2=1的一个焦点，正方形ABCD的两个顶点A、B在拋物线E上，C，D两点在直线y=x﹣4上，则该正方形的面积是（ ）

A.18或25 B.9或25 C.18或50 D.9或50

 

Answer 1

C

【解析】

试题分析：离心率为的双曲线：32y2﹣mx2=1，可解得m=32，此是一等轴双曲线，求得它的焦点，再由抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点是离心率为的双曲线：32y2﹣mx2=1的一个焦点，求得抛物线的标准方程，根据正方形ABCD的两个顶点A、B在拋物线E上，C，D两点在直线y=x﹣4上，求正方形的面积即可．

【解析】
由题意双曲线的离心率为，故此双曲线是一个等轴双曲线，所以m=32

可得c2=+=，可得c=

由于抛物线与双曲线的焦点相同，故p=，抛物线E：x2=y

令直线AB的方程是y=x﹣b，代入抛物线E：x2=y得x2=x﹣b，

故有xA+xB=1，xA×xB=﹣b

由此得弦长AB为×=

又直线AB与直线CD两平行线的距离是

由题意知=，解得b=2，或b=6

当b=2时，正方形的边长为=3，其面积是18

当b=6时，正方形的边长为=5，其面积是50

故选C．