Question

等比数列{a_n} 的首项a1=

1

3

，公比q＞0 且q≠1，又已知a₁，5a₃，9a₅ 成等差数列．
（1）求数列{a_n} 的通项；
（2）若f(n)=log3

1

an

，令cn=nf(

1

2n

)，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）将a₁，5a₃，9a₅ 成等差数列表示成10a₁q²=a₁+9a₁q⁴，解得q=

1

3

，得到数列{a_n} 的通项；
（2）求出cn=nf(

1

2n

)= 

n

2n

，利用错位相减法求出数列的前n项和．

解答：解：（1）因为a₁，5a₃，9a₅ 成等差数列．
所以10a₁q²=a₁+9a₁q⁴
解得q=

1

3

所以数列{a_n} 的通项为an=(

1

3

)n 
（2）所以f（n）=n，
所以cn=nf(

1

2n

)= 

n

2n

所以T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+

n

2n

①
所以

1

2

Tn=1×

1

22

+2×

1

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得Tn=2+

n-2

2n

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列综合的基本运算，这是数列部分最基本的类型考查，而（2）的关键是要对n分类讨论，求解的关键还是等差数列的求和公式．