Question

设f（x）=x|x-a|．
（1）当a=2，f（x）在[0，1]上最大值．
（2）若不等式f（x）＜2对x∈[0，1]恒成立，求a的范围；
（3）设a＞0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值，又有最小值，求m，n的取值范围（用a表示）

Answer 1

考点：带绝对值的函数

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）a=2，x∈[0，1]，f（x）=x|x-2|=x（2-x）=-（x-1）²+1，可得f（x）在[0，1]上最大值．
（2）若不等式f（x）＜2对x∈[0，1]恒成立，分类讨论，分离参数，即可求a的范围；
（3）设a＞0，函数在（-∞，a）上的最大值为f（

a

2

）=

a2

4

，利用函数f（x）在（m，n）上既有最大值，又有最小值，即可求m，n的取值范围．

解答： 解：（1）a=2，x∈[0，1]，f（x）=x|x-2|=x（2-x）=-（x-1）²+1．
∴x=1时，f（x）在[0，1]上最大值为1．
（2）f（x）＜2，x=0时，a∈R；
0＜x≤1时，x-

2

x

＜a＜x+

2

x

∵0＜x≤1时，x-

2

x

与x+

2

x

分别单调递增，单调递减，
∴-1＜a＜3；
（3）a＞0，f（x）的图象如图所示，

函数在（-∞，a）上的最大值为f（

a

2

）=

a2

4

，
由

y= a2 4 y=x(x-a)

，得x=

1+ 2

2

a，
∵函数f（x）在（m，n）上既有最大值，又有最小值，
∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

1+ 2

2

a．

点评：本题考查带绝对值的函数，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．