Question

1．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，2a_n+2a_n+2+5S_n=5S_n+1，且a₁=q＞1，数列{b_n}满足$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=|sin$\frac{（n+1）π}{2}$|．，若数列{b_n}的前m项和为340，则m的值为8或9．

Answer 1

分析 由2a_n+2a_n+2+5S_n=5S_n+1，可得2a_n+2a_n+2=5a_n+1，2+2q²=5q，且a₁=q＞1，解得a₁=q=2．可得b_n=2ⁿ•|sin$\frac{（n+1）π}{2}$|，对n分类讨论即可得出．

解答 解：由2a_n+2a_n+2+5S_n=5S_n+1，∴2a_n+2a_n+2=5a_n+1，∴2+2q²=5q，且a₁=q＞1，
解得a₁=q=2．
∴a_n=2ⁿ．
∵数列{b_n}满足$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=|sin$\frac{（n+1）π}{2}$|．∴b_n=2ⁿ•|sin$\frac{（n+1）π}{2}$|，
∴b_2n-1=2^2n-1•|sin（nπ）|=0，b_2n=2²ⁿ$|sin\frac{（2n+1）π}{2}|$=2²ⁿ．
∵数列{b_n}的前m项和为340，假设m=2n．
∴b₂+b₄+…+b_2n=2²+2⁴+…+2²ⁿ=340，
∴$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=340，解得n=4．
∴m=8．
∵a₉=0．
∴m=9时也满足条件．
∴m=8或9．
故答案为：8或9．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．