Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤0}\\{1-x，0＜x＜1}\\{\sqrt{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$，若a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c），则实数a+3b+c的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{11}{4}$-ln2]
• B． （-∞，$\frac{5}{4}$-ln2]
• C． （-∞，$\frac{5}{2}$-e${\;}^{\frac{1}{2}}$]
• D． （-∞，$\frac{15}{4}$-e${\;}^{\frac{1}{4}}$]

Answer 1

分析 设f（a）=f（b）=f（c）=t，作出函数的图象，结合图象判断0＜t＜1，分别用t表示a，b，c，然后构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值即可求a+3b+c的取值范围．

解答 解：先作出函数f（x）的图象如图：
∵a＜b＜c．f（a）=f（b）=f（c），
设f（a）=f（b）=f（c）=t，
则0＜t＜1，
则由f（a）=e^a=t，得a=lnt，
由f（b）=1-b=t，得b=1-t，
由f（c）=$\sqrt{c-1}$=t，得c=t²+1，
则a+3b+c=lnt+3（1-t）+t²+1=t²-3t+lnt+4
设g（t）=t²-3t+lnt+4，0＜t＜1，
函数的导数g′（t）=2t-3+$\frac{1}{t}$=$\frac{2{t}^{2}-3t+1}{t}$=$\frac{（2t-1）（t-1）}{t}$，
由g′（t）=0得t=$\frac{1}{2}$，
当0＜t＜$\frac{1}{2}$时，g′（t）＞0，此时函数递增，
当$\frac{1}{2}$＜t＜1时，g′（t）＜0，此时函数递减，
即当t=$\frac{1}{2}$时，函数g（t）取得极大值同时也是最大值g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{2}$+ln$\frac{1}{2}$+4=$\frac{11}{4}$-ln2，
∴g（t）≤$\frac{11}{4}$-ln2，
即a+3b+c的取值范围是（-∞，$\frac{11}{4}$-ln2]，
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用，设f（a）=f（b）=f（c）=t，利用t表示a，b，c，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．