Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（-sin$\frac{x}{2}$，-cos$\frac{x}{2}$）其中x∈[$\frac{π}{2}$，π]，若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，求x的值．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，根据|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$列出方程解出sin2x，再根据x的范围解出x．

解答 解：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3}{2}x$-sin$\frac{x}{2}$，sin$\frac{3}{2}x$-cos$\frac{x}{2}$）．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|²=（cos$\frac{3}{2}x$-sin$\frac{x}{2}$）²+（sin$\frac{3}{2}x$-cos$\frac{x}{2}$）²=2-2cos$\frac{3}{2}x$sin$\frac{x}{2}$-2sin$\frac{3}{2}x$cos$\frac{x}{2}$=2-2sin2x．
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
∴2-2sin2x=3，∴2sin2x=-1，sin2x=-$\frac{1}{2}$．
∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，∴2x∈[π，2π]．
∴2x=$\frac{7π}{6}$或2x=$\frac{11π}{6}$．
∴x=$\frac{7π}{12}$或x=$\frac{11π}{12}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，模长计算，三角函数的恒等变换，属于中档题．