题目内容
20．已知球O的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于50．分析 求出球半径，设出长方体的三度，求出长方体的对角线的长就是确定直径，推出长方体的表面积的表达式，然后求出最大值．
解答 解：∵球O的表面积为25π=4πR2，
∴球O的半径R=2.5，
设长方体的三度为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，
由题意可知a2+b2+c2=52=25，长方体的表面积为：2ab+2ac+2bc≤2a2+2b2+2c2=50；
当a=b=c时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大．
故答案为：50．
点评 本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力；注意利用基本不等式求最值时，正、定、等的条件的应用．
练习册系列答案
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在边长为10的等边三角形ABC中，两个内接正方形有一边重叠，都有边落在BC上，正方形甲有一个顶点在AB上，正方形乙有一顶点在AC上，求这两个内接正方形面积和的最小值．
11．不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x+y-6≤0\\ x+y-3≥0，x≥0\end{array}$表示的平面区域的面积为（ ）
| A． | 9 | B． | 4 | C． | $\frac{9}{2}$ | D． | 无穷大 |
5．下列函数中，最小值为4的是（ ）
| A． | y=x+$\frac{4}{x}$ | B． | y=sinx+$\frac{4}{sinx}$（0＜x＜π） | ||
| C． | y=ex+4e-x | D． | y=$\sqrt{{x}^{2}+3}$+$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+3}}$ |
12．双曲线${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$的离心率大于$\sqrt{2}$的必要不充分条件是（ ）
| A． | $m＞\frac{1}{2}$ | B． | 1＜m＜2 | C． | m＞1 | D． | 0＜m＜1 |