Question

19．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$与双曲线C₂：x²-y²=1有公共的焦点，双曲线C₂的一条渐近线与以椭圆C₁的长轴为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆C₁交于M、N两点，若$AB=\sqrt{2}MN$，则椭圆C₁的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出双曲线的一条渐近线方程，联立直线与圆、直线与椭圆求得|AB|、|MN|，再求出双曲线的焦距，结合已知列关于a，b，c的方程组，求解即可得到椭圆C₁的标准方程．

解答 解：如图，双曲线C₂：x²-y²=1的一条渐近线方程为y=x，

由题意可知：|AB|=2a，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}\\{{y}^{2}=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴|MN|=2$\sqrt{\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
由题意，$2a=\sqrt{2}•2\sqrt{\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，即a²+b²=4b²，①
且c=$\sqrt{2}$，又a²=b²+c²，②
联立①②解得a²=3，b²=1．
∴椭圆C₁的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．