Question

下列4个命题：

①已知是单位向量，|+|=|﹣2|，则在方向上的投影为；

②关于x的不等式a恒成立，则a的取值范围是a；

③函数f（x）=alog₂|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；

④将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，得到函数y=sin2x的图象

其中正确的命题序号是　　（填出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：

函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；向量的模．

专题：

计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．

分析：

化简①由已知化简可得=，而要求的等于||cos＜，＞，代入化简，即可判断正误．②不等式恒成立转化成函数的最值进行判断出；③通过举反例对③进行判断；④利用函数图象的平移判断正误即可；

解答：

解：对于①，∵|+|=|﹣2|，∴（|+|）²=（|﹣2|）²，

展开化简可得：=，

故在方向上的投影等于||cos＜，＞==，所以①正确．

对于②∵0≤sin²x≤1，令sin²x=t，

∴=t+，则令f（t）=t+，t∈[0，1]，

根据其图象可知，当x＞时，f（t）为递增的，当0＜x≤时，f（t）为递减的，

∵t∈[0，1]，∴f（t）≥f（1）=1+2=3，∴≥3

∵a＜恒成立时，只要a小于的最小值即可，所以a＜3，所以②不正确．

对于③当a=1，b=﹣1时，虽然有a+b=0，但f（x）不是奇函数，故③错，

对于④将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，得到函数y=sin（2x﹣）的图象，所以④不正确．

正确只有①．

故答案为：①．

点评：

本题考查向量的投影，转化为向量的数量积和模长来运算是解决问题的关键，不等式恒成立问题，考查的知识点比较多，属基础题．