Question

13．设函数f（x）的定义域为R^*，且满足条件f（4）=1，对于任意${x_1}，{x_2}∈{R^*}$，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且函数f（x）在R^*上为增函数．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（3x+1）+f（2x-6）≤3，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=1得f（1）=f（1）+f（1），即可得出．
（2）f（4²）=f（4•4）=f（4）+f（4）=2，f（64）=f（16）+f（4）=3．由f（3x+1）+f（2x-6）≤3，得f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64），再利用函数f（x）在R^*上为增函数即可得出．

解答 解：（1）∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=1得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．…（3分）
（2）f（4²）=f（4•4）=f（4）+f（4）=2，f（64）=f（16）+f（4）=3．
∴由f（3x+1）+f（2x-6）≤3，得f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）…（7分）
∵函数f（x）在R^*上为增函数，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{2x-6＞0}\\{（3x+1）（2x-6）≤64}\end{array}}\right.$，解得3＜x≤5．…（10分）

点评 本题考查了抽象函数的单调性及其应用、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．