Question

13．设抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F，过焦点F作y轴的垂线，交抛物线于A、B两点，点M（0，-$\frac{p}{2}$），Q为抛物线上异于A、B的任意一点，经过点Q作抛物线的切线，记为l，l与MA、MB分别交于D、E．
（1）判断直线MA与抛物线的位置关系并证明；
（2）求$\frac{{S}_{△QAB}}{{S}_{△MDE}}$．

Answer 1

分析 （1）条件中给出M（0，-$\frac{p}{2}$）只需求出A，B两点坐标，而A和B是抛物线上的点，进而用两点式确定直线方程，可联立方程，化简得一元二次方程，求得△=0，即可证明直线与抛物线相切；
（2）S_△ABQ=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2p}$，求得D和E点坐标，求得丨DE丨，由点到直线的距离公式d=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}}$，S_△MDE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}$•$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}}$=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{4}$，
即可求得$\frac{{S}_{△QAB}}{{S}_{△MDE}}$的值．

解答 解：（1）直线MA与抛物线相切，
证明：由y_A=y_B=$\frac{p}{2}$，可知：x_A=-p，x_B=p，
∴k_MA=-1，k_MB=1，
l_AM：y=-x-$\frac{p}{2}$，l_BM：y=x-$\frac{p}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=-x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，整理得：x²+2px+p²=0，
∴△=0，
∴直线AM与抛物线相切，同理，直线BM与抛物线相切；

（2）设Q（x₀，y₀），切线l：y=$\frac{{x}_{0}}{p}$x-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2p}$，
S_△ABQ=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2p}$，l_AM：y=-x-$\frac{p}{2}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{0}}{p}x-\frac{{x}_{0}^{2}}{{p}^{2}}}\\{y=-x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，D（$\frac{{x}_{0}-p}{2}$，$\frac{-{x}_{0}}{2}$），同理E（$\frac{{x}_{0}+p}{2}$，$\frac{{x}_{0}}{2}$），
丨DE丨=$\sqrt{{p}^{2}+{x}_{0}^{2}}$，M到直线DE的距离d=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}}$，
S_△MDE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}$•$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{2\sqrt{{x}_{0}^{2}+{p}^{2}}}$=$\frac{丨{x}_{0}^{2}-{p}^{2}丨}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△QAB}}{{S}_{△MDE}}$=2．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．