Question

已知函数fn(x)=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n+

n2

n2+2015

(x+1)，其中n∈N^*，当n=1，2，3，…时，f_n（x）的零点依次记作x₁，x₂，x₃，…，则

lim

n→∞

xn=

 

．

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：导数的综合应用

分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f_n（x）=2-(

1

2

)n+

n2(x+1)

n2+2015

，令f_n（x）=0，解得x_n=x=[(

1

2

)n-2](1+

2015

n2

)-1．再利用极限的运算法则即可得出．

解答： 解：函数fn(x)=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n+

n2

n2+2015

(x+1)=

1-( 1 2 )n+1

1- 1 2

+

n2(x+1)

n2+2015

=2-(

1

2

)n+

n2(x+1)

n2+2015

，
令f_n（x）=0，解得x_n=x=[(

1

2

)n-2](1+

2015

n2

)-1．
∴

lim

n→∞

xn=-2×1-1=-3．
故答案为：-3．

点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．