Question

18．已知y=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，t∈R．
（1）当x为常数，且t在区间[${0，\frac{{\sqrt{3}}}{6}}$]变化时，求y的最小值φ（x）；
（2）证明：对任意的t∈（0，+∞），总存在x∈（0，1），使得y=0．

Answer 1

分析 （1）当x为常数时，设f（t）=4x³+3tx²-6t²x+t-1=-6xt²+（3x²+1）t+4x³-1，是关于y的二次函数．利用二次函数图象与性质求解
（2）设g（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，按照零点存在性定理去判断．可利用导数计算函数的极值，有关端点值，作出证明．

解答 解：（1）当x为常数时，f（t）=4x³+3tx²-6t²x+t-1=-6xt²+（3x²+1）t+4x³-1，
f'（t）=-12xt+（3x²+1），
f'（t）=-12xt+3x²-1=3（x-2t）²-12t²+1，
当$t∈[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{6}}]$，f'（t）≥0，f（t）在$t∈[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{6}}]$上递增，
其最小值φ（x）=f（0）=4x³-1．
（2）令g（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，
g'（x）=12x²+6tx-6t²=6（2x-t）（x+t），
由t∈（0，+∞），当x在区间（0，+∞）内变化时，g（x）与g'（x）变化情况如下表：

x	$（0，\frac{t}{2}）$	$\frac{t}{2}$	$（\frac{t}{2}，+∞）$
g'（x）	-	0	+
g（x）	单调递减	极小值	单调递增

①当$\frac{t}{2}≥1$，即t≥2时，g（x）在区间（0，1）内单调递减，g（0）=t-1＞0，g（1）=-6t²+4t+3=-2t（3t-2）+3≤-4（6-2）+3＜0，
所以对任意t∈[2，+∞），g（x）在区间（0，1）内均存在零点，即存在x∈（0，1），使得g（x）=0；
②当$0＜\frac{t}{2}＜1$，即0＜t＜2时，g（x）在$（0，\frac{t}{2}）$内单调递减，在$（\frac{t}{2}，1）$内单调递增，
所以$x=\frac{t}{2}$时，函数g（x）取最小值$-\frac{7}{4}{t^3}+t-1$，
又g（0）=t-1，
若t∈（0，1]，则$g（1）=-6{t^2}+4t+3=-6{（t-\frac{1}{3}）^2}+\frac{11}{3}＞0$，$-\frac{7}{4}{t^3}+（t-1）＜0$，
所以g（x）在$（\frac{t}{2}，1）$内存在零点；
若t∈（1，2），则g（0）=t-1＞0，$-\frac{7}{4}{t^3}+t-1=（-\frac{7}{4}{t^3}+t）-1＜0$，
所以g（x）在$（0，\frac{t}{2}）$内存在零点，
所以，对任意t∈（0，2），g（x）在区间（0，1）内均存在零点，即存在x∈（0，1），使得g（x）=0．
结合①②，对任意的t∈（0，+∞），总存在x∈（0，1），使得y=0．

点评 本题考查函数单调性与导数关系的应用，函数最值的应用：通过极值探讨零点．综合性强．