Question

17．已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{$\frac{1}{f（n）}}$}的前n项和为T_n，则T₂₀₁₆=（　　）

• A． $\frac{2014}{2015}$
• B． $\frac{2015}{2016}$
• C． $\frac{2016}{2017}$
• D． $\frac{2017}{2018}$

Answer 1

分析 对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求得结论．

解答 解：由f（x）=x²+bx求导得：f′（x）=2x+b，
∵函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
∴f′（1）=2+b=3，∴b=1，∴f（x）=x²+x
∴f（n）=n（n+1），
∴$\frac{1}{f（n）}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T₂₀₁₆=1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故选：C

点评 本题考查了导函数的几何意义，考查利用利用裂项相消法求数列的前n项和的方法，属于中档题．